Direct Product Tables

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Nov 3, 2020
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$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

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$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

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$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$

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$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

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$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\scal}{\cal S}$

$\newcommand{\wcal}{\cal W}$

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$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$

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$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$

$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$

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$\newcommand{\gt}{>}$

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Table 1: For $C_2$ , $C_{2v}$ , $C_{2 h}$ ; $C_3$ , $C_{3 v}$ , $C_{3 h}$ ; $D_3$ , $D_{3 d}$ , $D_{3 h}$ ; $C_6$ , $C_{6 v}$ , $C_{ 6 h}$ ; $D_6$ , and $S_{6}$
	$A_1$	$A_2$	$B_1$	$B_2$	$E_1$	$E_2$
$A_1$	$A_1$	$A_2$	$B_1$	$B_2$	$E_1$	$E_2$
$A_2$	-	$A_1$	$B_2$	$B_1$	$E_1$	$E_2$
$B_1$	-	-	$A_1$	$A_2$	$E_2$	$E_1$
$B_2$	-	-	-	$A_1$	$E_2$	$E_1$
$E_1$	-	-	-	-	$A_1 + [A_2] + E_2$	$B_1+B_2+E_1$
$E_2$	-	-	-	-	-	$A_1 + [A_2] +E_2$

**Table 2**: For $T$ , $T_{h}$ , $T_{d}$ ; $O$ , and $O_{h}$
	$A$	$B_1$	$B_2$	$T$	$T_2$
$A_1$	$A_1$	$A_2$	$E$	$T_1$	$T_2$
$A_2$	-	$A_1$	$E$	$T_2$	$T_1$
$E$	-	-	$A_1 + [A_2] + E_2$	$T_1 + T_2$	$T_1+T_2$
$T_1$	-	-	-	$A_1 + E+ [T_1] + T_2$	$A_2+E + T_1+T_2$
$T_2$	-	-	-	-	$A_1+E +[T_1] +T_2$

**Table 3:** For $C_{\infty v}$ , and *$D_{\infty h}$*
	$\Sigma^+$	$\Sigma^-$	$\Pi$	$\Delta$	-
$\Sigma^+$	$\Sigma^+$	$A_2$	$\Pi$	$\Delta$	-
$\Sigma^-$	-	$\Sigma^+$	$\Pi$	$\Delta$	-
$\Pi$	-	-	$\Sigma^+ + [ \Sigma^- ] + \Delta$	$\Delta + \Phi$	-
$\Delta$	-	-	-	$\Sigma^+ + [ \Sigma^- ] + \Sigma$	-
-	-	-	-	-	-

**Table 4:** For $D_{2}$ , and $D_{2h}$
	$A$	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$A$	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$B_1$	-	$A$	$B_3$	$B_2$
$B_2$	-	-	$A$	$B_1$
$B_3$	-	-	-	$A$

**Table 5:** For $C_{6v}$ , $D_6$ and $D_{6h}$
	$A_1$	$A_2$	$B_1$	$B_2$	$E_1$	$E_2$
$A_1$	$A_1$	$A_2$	$B_1$	$B_2$	$E_1$	$E_2$
$A_2$	-	$A_1$	$B_2$	$B_1$	$E_1$	$E_2$
$B_1$	-	-	$A_1$	$A_2$	$E_2$	$E_1$
$B_2$	-	-	-	$A_1$	$E_2$	$E_1$
$E_1$	-	-	-	-	$A_1 + [A_2] + E_2$	$B_1 + [B_2] + E_1$
$E_2$	-	-	-	-	-	$A_1 + [A_2] + E_2$

**Table 6**: For $C_{4v}$ , $D_4$ , $D_{2d}$ , and $D_{4h}$
	$A_1$	$A_2$	$B_1$	$B_2$	$E$
$A_1$	$A_1$	$A_2$	$B_1$	$B_2$	$E$
$A_2$	-	$A_1$	$B_2$	$B_1$	$E$
$B_1$	-	-	$A_1$	$A_2$	$E$
$B_2$	-	-	-	$A_1$	$E$
$E$	-	-	-	-	$A_1 + [A_2] + B_1 + B_2$

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